Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，點A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點O．
（1）證明在側棱AA₁上存在一點E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的長；
（2）求平面A₁B₁C與平面BB₁C₁C夾角的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點E，則E為所求．可以證出OE⊥BB₁，BC⊥OE而得以證明．在Rt△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．
（2）分別以OA，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面A₁B₁C的法向量，利用向量的夾角公式求平面A₁B₁C與平面BB₁C₁C夾角的余弦值，從而可得正弦值．

解答： （1）證明：連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點E，
∵AA₁∥BB₁，∴OE⊥BB₁，
∵A₁O⊥平面ABC，∴BC⊥平面AA₁O，∴BC⊥OE，
∴OE⊥平面BB₁C₁C，
又AO=

AB2-BO2

=1，AA₁=

5

得AE=

AO2

AA1

=

5

5

．…4′
（2）解：建立如圖所示空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由

AE

=

1

5

AA1

，得點E得坐標是(

4

5

，0，

2

5

)．
設平面A₁B₁C的法向量是

m

=(x，y，z)，
由

m • AB =0 m • A1C =0

得

x+2y=0 y+z=0

令y=1，得x=2，z=-1，

m

=(2，1，-1)
∴cos?

m

，

OE

＞=

m • OE

| m |•| OE |

=

30

10

∴平面A₁B₁C與平面BB₁C₁C夾角的正弦值為

30

10

．…12′．

點評：本題考查空間直線和平面位置關系的確定，要熟練掌握應用空間有關的性質(zhì)、定理；還考查了二面角大小求解，建立空間直角坐標系利用向量法是關鍵．