Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（1）證明：f（x）≥2；
（2）若f（3）＜5，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣a）|=|a+ |=a+ ≥2 =2，

故不等式f（x）≥2成立．

（2）解：∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，

∴當(dāng)a＞3時(shí)，不等式即a+ ＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜ ．

當(dāng)0＜a≤3時(shí)，不等式即 6﹣a+ ＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得 ＜a≤3．

綜上可得，a的取值范圍（ ， ）．

【解析】（1）由a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f（x）≥2成立．（2）由f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分當(dāng)a＞3時(shí)和當(dāng)0＜a≤3時(shí)兩種情況，分別去掉絕對(duì)值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．