Question

17．已知圓O：x²+y²=1，圓O關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱的圓C．
（1）求圓C的方程；
（2）在直線l：2x+y-3=0上是否存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作圓O，圓C的兩條切線PA，PB分別為A，B，有PA=PB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的圓心為C（a，b），根據(jù)圓C與圓x²+y²=0關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{2}+2=0}\\{\frac{a}=1}\end{array}\right.$，解得即可．
（2）過(guò)點(diǎn)P分別作圓O，圓C的兩條切線PA，PB分別為A，B，有PA=PB，則點(diǎn)P一在OC的垂直平分線上，即在x+y+2=0上，點(diǎn)P也在直線l：2x+y-3=0上，即點(diǎn)P是直線l與直線x+y+2=0的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得即可．

解答 解：（1）∵圓C與圓x²+y²=1關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，
∴圓C的半徑r=1，
圓x²+y²=1的圓心（0，0），
設(shè)圓C的圓心為C（a，b），
∵圓C與圓x²+y²=0關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{2}+2=0}\\{\frac{a}=1}\end{array}\right.$，
解得a=-2，b=-2．
∴圓的方程為（x+2）²+（y+2）²=1．
（2）過(guò)點(diǎn)P分別作圓O，圓C的兩條切線PA，PB分別為A，B，有PA=PB，
∴點(diǎn)P一在OC的垂直平分線上，即在x+y+2=0上，
∵點(diǎn)P也在直線l：2x+y-3=0上，
∴點(diǎn)P是直線l與直線x+y+2=0的交點(diǎn)，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2=0}\\{2x+y-3=0}\end{array}\right.$，
解得x=5，y=-7，
∴P（5，-7）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，公切線的性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．是中檔題