Question

數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函數(shù)fn（x）=

1

3

x³-

1

2

（3a_n+n²）x²+3n²a_nx極小值點(diǎn)．當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析：通過a=0，推出a₁=0，則3a₁＜1²．由f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）=0，求出x₁=3a_n，x₂=n²．由函數(shù)的單調(diào)性知f_n（x）在x=n²取得極小值．求出a₂=1，a₃=4，a₄=3×4，考查規(guī)律，由此猜測(cè)：當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=4×3^n-3．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥3時(shí)，3a_n＞n²．

解答：解：由題意可知，當(dāng)a=0時(shí)，a₁=0，則3a₁＜1²．
由題設(shè)知f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．
令f′_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
若3a_n＜n²，則
當(dāng)x＜3a_n時(shí)，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)3a_n＜x＜n²時(shí)，f′_n（x）＜0，f_n（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞n²時(shí)，f′_n（x）＞0，f_n（x）單調(diào)遞增．
故f_n（x）在x=n²取得極小值．
所以a₂=1²=1
因?yàn)?a₂=3＜2²，則，a₃=2²=4
因?yàn)?a₃=12＞3³，則a₄=3a₃=3×4，
又因?yàn)?a₄=36＞4²，則a₅=3a₄=3²×4，
由此猜測(cè)：當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=4×3^n-3．
下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥3時(shí)，3a_n＞n²．
事實(shí)上，當(dāng)n=3時(shí)，由前面的討論知結(jié)論成立．
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，3a_k＞k²成立，則由（2）知，a_k+1=3a_k＞k²，
從而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞（k+1）²．
故當(dāng)n≥3時(shí)，3a_n＞n²成立．
于是，當(dāng)n≥3時(shí)，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（n≥3）．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的求法，注意到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極小值的關(guān)系，注意數(shù)列的規(guī)律，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．