Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C:過點，離心率為，點分別為其左右焦點.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點,且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在圓心在原點的圓，理由祥見解析.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為e=，得到一方程，再由橢圓過點，代入方程，再由a，b，c的關(guān)系，解方程組，即可得到a，b，從而求出橢圓方程；

（2）按直線斜率不存在和存在分別討論：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：與聯(lián)立消去y，得到x的二次方程，運用韋達(dá)定理可將條件轉(zhuǎn)化為k、b的方程；再由直線與圓相切，得，從而即可求出符合條件的圓的方程；當(dāng)直線斜率不存在時，前邊求得的圓方程也適用，由此即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）由題意得：，得，因為，得，所以，所以橢圓C方程為. 4分

假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為：

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，由得

，令

， 6分

. 8分

因為直線與圓相切，

=

所以存在圓

當(dāng)直線的斜率不存在時，也適合.

綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足題意. 12分

考點：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．直線與圓錐曲線的關(guān)系．