Question

下列命題中正確的是

②③

（寫(xiě)出所有正確命題的題號(hào)）
①存在α滿(mǎn)足sinα+cosα=

3

2

；
②y=cos(

7π

2

-3x)是奇函數(shù)；
③y=4sin(2x+

5π

4

)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(-

9π

8

，0)；
④y=sin(2x-

π

4

)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到．

Answer 1

分析：利用輔助角公式，化簡(jiǎn)可得sinα+cosα的最大值為

2

，因此不存在α滿(mǎn)足sinα+cosα=

3

2

，故①不正確；將函數(shù)y=cos(

7π

2

-3x)展開(kāi)，化簡(jiǎn)可得y=-sin3x，是奇函數(shù)，故②正確；根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的對(duì)稱(chēng)性的結(jié)論，得到函數(shù)y=4sin(2x+

5π

4

)圖象的對(duì)稱(chēng)中心的一般形式，對(duì)照條件得到③正確；將函數(shù)y=sin(2x-

π

4

)變形，整理可得它的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位得到故④不正確．

解答：解：①∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，
∴sinα+cosα的最大值為

2

＜

3

2

，因此不存在α滿(mǎn)足sinα+cosα=

3

2

，故①不正確；
②∵y=cos(

7π

2

-3x)=cos

7π

2

cos3x+sin

7π

2

sin3x，且cos

7π

2

=0，sin

7π

2

=-1
∴函數(shù)y=cos(

7π

2

-3x)化簡(jiǎn)為y=-sin3x，是奇函數(shù)，故②正確；
③對(duì)于函數(shù)y=4sin(2x+

5π

4

)，令2x+

5π

4

=kπ，得x=

kπ

2

-

5π

8

，其中k是整數(shù)，
∴y=4sin(2x+

5π

4

)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（

kπ

2

-

5π

8

，0），
取k=-1，得(-

9π

8

，0)，所以y=4sin(2x+

5π

4

)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(-

9π

8

，0)，故③正確；
④y=sin(2x-

π

4

)=sin[2(x-

π

8

)]，所以它的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位得到，故④不正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于命題真假的判斷，主要考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性、單調(diào)性和最值，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．