Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù).若對于任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（1）代入，求導(dǎo)，可求出切線方程。（2）因為.又因為，的兩根>0,所以分

與與三類討論單調(diào)性。（3）由成立，即，變形.，所以只需。

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.

當(dāng)時，.

所以曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）因為.

令，即，解得，.

（1）當(dāng)，即時，

由，得或；

由，得.

所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為

（2）當(dāng)，即時，

由，得或；

由，得.

所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（3）當(dāng)，即時，在上恒成立，所以函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間.

綜上所述：

當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間.

（Ⅲ）因為對于任意，都有成立，

則，等價于.

令，則當(dāng)時，.

因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.

所以.

所以.

所以.