Question

（2005•北京）已知函數f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．

（Ⅰ）求f（x）的單調遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

 

Answer 1

（Ⅰ）（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．

（Ⅱ）﹣7

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出函數f（x）的導函數f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的區(qū)間即為函數f（x）的單調遞減區(qū)間；

（Ⅱ）先求出端點的函數值f（﹣2）與f（2），比較f（2）與f（﹣2）的大小，然后根據函數f（x）在[﹣1，2]上單調遞增，在[﹣2，﹣1]上單調遞減，得到f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式關系求出a，從而求出函數f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值．

【解析】
（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．

令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，

所以函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．

（Ⅱ）因為f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，

所以f（2）＞f（﹣2）．

因為在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上單調遞增，

又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上單調遞減，

因此f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．

故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，

即函數f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值為﹣7．