Question

已知定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數(shù)h（x）=lnx，又函數(shù)f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；  
（II）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函數(shù)R（x）圖象過（4，2）點(diǎn)，對(duì)于給定的函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)A（x₁，y₁），當(dāng)x1=

3

2

時(shí)，探求函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

Answer 1

分析：（I）由2^R（-x）-2^R（x）=0，知R（-x）=R（x），故R（x）=ax²+c．所以R(x)=ax2.令f′（x）=0，得x=

2a

2a

．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）由當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，

2a

2a

≥1，知x₀∈[1，3]時(shí)，f（x₀）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．由此能求出f（x₀）的最小值．
（III）若二次函數(shù)R（x）=ax²圖象過（4，2）點(diǎn)，則a=

1

8

，所以f(x)=lnx-

1

8

x2．由此能導(dǎo)出函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．

解答：解：（I）∵定義在R上的二次函數(shù)R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，
∴2^R（-x）-2^R（x）=0，
∴2^R（-x）=2^R（x），即R（-x）=R（x），
∵R（x）=ax²+bx+c，∴b=0，∴R（x）=ax²+c．
∵R（x）=ax²+c的最小值為0，∴a＞0，c=0，故R（x）=ax²，
∵R（x）=ax²，h（x）=lnx，f（x）=h（x）-R（x），
∴f（x）=lnx-ax²，f′(x)=

1

x

-2ax，
令f′（x）=0，解得x=

2a

2a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0， 2a 2a ）	2a 2a	（ 2a 2a ，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

2a

2a

），
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（

2a

2a

，+∞）．
（II）∵當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，

2a

2a

≥1，
∴x₀∈[1，3]時(shí)，f（x₀）的最小值為f（1）與f（3）中的較小者．
又f（1）=-a，f（3）=1n3-9a，
f（1）-f（3）=-a-（ln3-9a）=8a-1n3．
∴當(dāng)0＜a≤

ln3

8

時(shí)，f（1）≤f（3），f（x₀）的最小值-a；
當(dāng)

ln3

8

＜a≤ 

1

2

時(shí)，f（1）＞f（3），f（x₀）的最小值ln3-9a．
（III）證明：若二次函數(shù)R（x）=ax²圖象過（4，2）點(diǎn)，則a=

1

8

，
所以f(x)=lnx-

1

8

x2．
令g(x)=f(x)-f(

3

2

)．
由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
故f(2)＞f(

3

2

)，即g（2）＞0．
取x′=

3

2

e＞2，則g(x′)=

41-9e2

32

＜0．
所以存在x2∈(2，x′)，使g（x₂）=0，
故存在x₂∈（2，+∞），使f(x2)=f(

3

2

)．
所以函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求f（x）的單調(diào)區(qū)間，求f（x₀）的最小值，探索函數(shù)f（x）圖象上是否存在點(diǎn)B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．