Question

如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)面BCC₁B₁是正方形，E是AB的中點(diǎn)，AB=

2

BC．
（1）求證：BD₁⊥平面B₁CE；
（2）求二面角C-B₁E-A₁的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BD₁⊥平面B₁CE．
（2）求出平面CB₁E的法向量和平面B₁EA₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角C-B₁E-A₁的大小．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=

2

BC=

2

，B（1，

2

，0），
C（0，

2

，0），B₁（1，

2

，1），
D₁（0，0，1），E（1，

2

2

，0），

BD1

=（-1，-

2

，1），

CE

=（1，-

2

2

，0），

CB1

=（1，0，1），
∴

BD1

•

CE

=0，

BD1

•

CB1

=0，
∴BD₁⊥CE，BD₁⊥CB₁，
∴BD₁⊥平面B₁CE．
（2）解：設(shè)平面CB₁E的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CB1 =x+z=0 n • CE =x- 2 2 y=0

，取x=1，得

n

=（1，

2

，-1），
又平面B₁EA₁的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

n

，

m

＞=

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=60°，
∴二面角C-B₁E-A₁的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．