Question

14．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中AB長(zhǎng)為2km，C、D兩點(diǎn)在半圓弧上，滿足BC=CD，設(shè)∠COB=θ．
（1）現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光道路，由線段AB、BC、CD和DA組成，則當(dāng)θ為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，并求l的最大值；
（2）若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花，其中在△AOD和△BOC內(nèi)種滿鮮花，在扇形COD內(nèi)種一半面積的鮮花，則當(dāng)θ為何值時(shí)，鮮花種植面積S最大．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出BC，CD，DA，可得l，利用換元、配方法，即可得出結(jié)論；
（2）利用三角形的面積公式、扇形的面積公式，再利用導(dǎo)數(shù)，可得當(dāng)θ為何值時(shí)，鮮花種植面積S最大．

解答 解：（1）由題意，BC=CD=$\sqrt{2-2cosθ}$=2sin$\frac{θ}{2}$，DA=$\sqrt{2+2cos2θ}$=2cosθ，
∴l(xiāng)=2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
令t=sin$\frac{θ}{2}$，則（0＜t＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$），l=-4（t-$\frac{1}{2}$）²+5，
∴t=$\frac{1}{2}$時(shí)，即θ=$\frac{π}{3}$，l的最大值為5；
（2）S=$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$sin（π-2θ）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}×θ$=$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{4}$θ，
∴S′=$\frac{1}{2}cosθ$+cos2θ+$\frac{1}{4}$=0，
∴8cos²θ+2cosθ-3=0，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，且0＜θ＜$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，鮮花種植面積S最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．