【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3ax+2(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3﹣3x+2,切點(diǎn)為(0,2),
∴f′(x)=3x2﹣3,
∴切線的斜率為k=f′(0)=﹣3,
則切線方程為y=﹣3x+2,即3x+y﹣2=0
(2)解:f′(x)=3x2﹣3a=3(x2﹣a).
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≥0,∴f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(0)=2;
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)= .
①若0< ,即0<a<1時(shí),
當(dāng)0 時(shí),f′(x)<0,當(dāng) 時(shí),f′(x)>0.
∴f(x)在[0, )上為減函數(shù),在( ]上為增函數(shù).
∴ ;
②若 ,即a≥1時(shí),f′(x)≤0,∴f(x)在[0,1]上為減函數(shù).
∴f(x)min=f(1)=3﹣3a.
綜上:
【解析】(1)把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式,求出切點(diǎn)坐標(biāo),并求出f′(0),然后由直線方程的點(diǎn)斜式得答案;(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)a分類分析,當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≥0,得f(x)在[0,1]上為增函數(shù),求得函數(shù)最小值;當(dāng)a>0時(shí),f′(x)= .然后由1分界討論求得函數(shù)的最小值.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù),是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài).一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數(shù)量(單位:千輛)之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究,在調(diào)查過程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:
租用單車數(shù)量(千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一輛車平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲: ,方程乙: .
(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):
①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)(備注: ,稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差(也叫隨機(jī)誤差));
租用單車數(shù)量 (千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一輛車平均成本 (元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計(jì)值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計(jì)值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.
(2)這個(gè)公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應(yīng)求,于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這個(gè)城市投放8千輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.4,0.6.問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本,利潤(rùn)=收入-成本).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , 和均為等邊三角形,且平面平面,點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若的面積為,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為2,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A、B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于或等于90分為優(yōu)秀,90分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如表的列聯(lián)表.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計(jì) | 100 |
已知在全部100人中抽到隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為 .
(1)請(qǐng)完成如表的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),有多大的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系“?
(3)按分層抽樣的方法,從優(yōu)秀學(xué)生中抽出6名組成一個(gè)樣本,再從樣本中抽出2名學(xué)生,求恰好有1個(gè)學(xué)生在甲班的概率.
參考公式和數(shù)據(jù):K2= ,其中n=a+b+c+d.
下面的臨界值表供參考:
p(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的普通方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;
(2)求曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo),其中, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是遞增的等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn , a1=1,且a1 , a2 , S3成等比數(shù)列.
(1)求an及Sn;
(2)求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|0<ax﹣1≤5},B={x|﹣ <x≤2},
(1)若a=1,求A∪B;
(2)若A∩B=且a>0,求實(shí)數(shù)a的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有垣厚五尺,兩鼠對(duì)穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問幾何日相逢?各穿幾何?”,翻譯成今天的話是:一只大鼠和一只小鼠分別從的墻兩側(cè)面對(duì)面打洞,已知第一天兩鼠都打了一尺長(zhǎng)的洞,以后大鼠每天打的洞長(zhǎng)是前一天的2倍,小鼠每天打的洞長(zhǎng)是前一天的一半,已知墻厚五尺,問兩鼠幾天后相見?相見時(shí)各打了幾尺長(zhǎng)的洞?設(shè)兩鼠x 天后相遇(假設(shè)兩鼠每天的速度是勻速的),則x=( 。
A. B. C. D.
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