Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．
（1）求證函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四個零點，求b的取值范圍；
（3）若對于任意的x∈[-1，1]時，都有f（x）≤e²-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點的判定定理

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，即可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）先判斷函數(shù)f（x）的極小值，再由函數(shù)有四個零點，進行等價轉(zhuǎn)化方程有解問題，去掉絕對值，變成兩個方程，即可解出b的范圍；
（3）求出f（x）的最大值，要使f（x）≤e²-1恒成立，只需a-ln a≤e²-2即可，從而求出a的取值范圍．

解答： （1）證明∵f（x）=a^x+x²-xln a，
∴f′（x）=a^x•ln a+2x-ln a=（a^x-1）ln a+2x．…（2分）
∵a＞1，x＞0，∴a^x-1＞0，ln a＞0，2x＞0，∴當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增…（4分）
（2）解：由（1）知當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）取得最小值為f（0）=1…（5分）
由|f（x）-b+

1

b

|-3=0，得f（x）=b-

1

b

+3或f（x）=b-

1

b

-3，
∴要使函數(shù)y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四個零點，只需

b- 1 b +3＞1 b- 1 b -3＞1

…（7分）
即b-

1

b

＞4，即

b2-4b-1

b

＞0，解得b＞2+

5

或2-

5

＜b＜0．
故b的取值范圍是（2-

5

，0）∪（2+

5

，+∞） …（8分）
（3）解：由（1）知f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
f（-1）=

1

a

+1+ln a，f（1）=a+1-ln a，∴f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2ln a
令H（x）=x-

1

x

-2ln x（x＞0），則H′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

＞0，
∴H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∵a＞1，∴H（a）＞H（1）=0．
∴f（1）＞f（-1）
∴|f（x）|的最大值為 f（1）=a+1-ln a，…（12分）
∴要使f（x）≤e²-1恒成立，只需a-ln a≤e²-2即可
令h（a）=a-ln a（a＞1），h′（a）=1-

1

a

＞0，∴h（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∵h（e²）=e²-2，∴只需h（a）≤h（e²），即1＜a≤e²．
故a的取值范圍是（1，e²]…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)確定函數(shù)的最值．