Question

17．羅源濱海新城建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為（2+$\sqrt{x}$）x萬元．假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．
（1）試寫出y關于x的函數關系式；
（2）當m=96米時，需新建多少個橋墩才能使余下工程的費用y最小？

Answer 1

分析 （1）根據題意設出橋墩和橋面工程量，然后根據題意建立工程總費用與工程量的函數關系．
（2）當m=96米時，代入已知函數表達式，求出此時的函數表達式，并求導，根據導數與函數單調性的關系求出最值以及此時x的值．

解答 解：（1）設需新建n個橋墩，則（n+1）x=m，即n=$\frac{m}{x}$-1，…（2分）
所以y=f（x）=32n+（n+1）（2+$\sqrt{x}$）x=32（$\frac{m}{x}$-1）+（2+$\sqrt{x}$）m
=m（$\frac{32}{x}$+$\sqrt{x}$）+2m-32，（ 0＜x＜m）…（6分）
（2）當m=96時，f（x）=96（$\frac{32}{x}$+$\sqrt{x}$）+160
則f′（x）=$96（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{32}{x^2}）=\frac{48}{x^2}（{x^{\frac{3}{2}}}-64）$．…（8分）
令f′（x）=0，得${x^{\frac{3}{2}}}$=64，所以x=16
當0＜x＜16時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，16）內為減函數；
當16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（16，96）內為增函數．
所以f（x）在x=16處取得最小值．此時n=$\frac{96}{16}$-1=5…（10分）
故需新建5個橋墩才能使余下工程的費用y最�。�…（12分）

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．本題需要構建一個工程總費用與工程量的函數關系．并注明取值范圍．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于中檔題．