Question

17．羅源濱海新城建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費(fèi)用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為（2+$\sqrt{x}$）x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元．
（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)m=96米時，需新建多少個橋墩才能使余下工程的費(fèi)用y最�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)出橋墩和橋面工程量，然后根據(jù)題意建立工程總費(fèi)用與工程量的函數(shù)關(guān)系．
（2）當(dāng)m=96米時，代入已知函數(shù)表達(dá)式，求出此時的函數(shù)表達(dá)式，并求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出最值以及此時x的值．

解答 解：（1）設(shè)需新建n個橋墩，則（n+1）x=m，即n=$\frac{m}{x}$-1，…（2分）
所以y=f（x）=32n+（n+1）（2+$\sqrt{x}$）x=32（$\frac{m}{x}$-1）+（2+$\sqrt{x}$）m
=m（$\frac{32}{x}$+$\sqrt{x}$）+2m-32，（ 0＜x＜m）…（6分）
（2）當(dāng)m=96時，f（x）=96（$\frac{32}{x}$+$\sqrt{x}$）+160
則f′（x）=$96（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{32}{x^2}）=\frac{48}{x^2}（{x^{\frac{3}{2}}}-64）$．…（8分）
令f′（x）=0，得${x^{\frac{3}{2}}}$=64，所以x=16
當(dāng)0＜x＜16時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，16）內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（16，96）內(nèi)為增函數(shù)．
所以f（x）在x=16處取得最小值．此時n=$\frac{96}{16}$-1=5…（10分）
故需新建5個橋墩才能使余下工程的費(fèi)用y最�。�…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過對實(shí)際問題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問題．本題需要構(gòu)建一個工程總費(fèi)用與工程量的函數(shù)關(guān)系．并注明取值范圍．需要對知識熟練的掌握并應(yīng)用，屬于中檔題．