Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，
（i）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程，
（ii）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）+x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程，以及求函數(shù)的最值．
（Ⅱ）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的大小問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）（i）∵f（x）=x³-ax²（a∈R），∴f'（x）=3x²-2ax，
由f'（1）=3-2a=3，解得a=0，
∴y=f（x）=x³．
∵f（1）=1，f'（x）=3x²，f'（1）=3，
∴切點(diǎn)（1，1），斜率為3，
∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=3x-2．
（ii）∵f（x）=x³，f'（x）=3x²≥0，
∴f（x）在[0，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）最大值為f（2）=8．
（Ⅱ）∵x³-ax²+x≥0對(duì)x∈[0，2]恒成立，
∴ax²≤x³+x．
當(dāng)x=0時(shí)成立．
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)a≤x+

1

x

，
∵x+

1

x

≥2，在x=1處取最小值．
∴a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．