已知函數(shù)f(x)=alnx+
12
x2-(1+a)x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意的x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（Ⅰ）求導數(shù)，對 a分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在x=1處取得最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）求導數(shù)可得f′（x）=
(x-a)(x-1)
x
（x＞0）
（1）a≤0時，令f′（x）＜0，可得x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，∵x＞0，∴x＞1
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）0＜a＜1時，令f′（x）＜0，可得a＜x＜1，∵x＞0，∴a＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＜a或x＞1，∵x＞0，∴0＜x＜a或x＞1
∴函數(shù)f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減；
（3）a=1時，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（4）a＞1時，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，∵x＞0，∴1＜x＜a；令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a
∴函數(shù)f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）a≥0時，f（1）=-
1
2
-a＜0，舍去；
a＜0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在x=1處取得最小值，
∵函數(shù)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意的x恒成立，
∴f（1）=-
1
2
-a≥0，可得a≤-
1
2
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結論．

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