Question

【題目】平面內(nèi)與兩定點(diǎn)，連線的斜率之積等于的點(diǎn)的軌跡，加上、兩點(diǎn)所成的曲線為.若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為，且曲線上的相異兩點(diǎn)、滿足.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）首先設(shè)出，根據(jù)斜率之積等于得到，再化簡(jiǎn)即可得到曲線的軌跡方程.

（2）分別討論的斜率存在和不存在時(shí)，根據(jù)，設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用根系關(guān)系得到直線恒過，再將面積轉(zhuǎn)化為，利用根系關(guān)系和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到面積的最大值.

（1）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，，，

，

整理得：.

又曲線加上，兩點(diǎn)，所以曲線的方程是：.

（2）由題意可知，設(shè)，，

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，

聯(lián)立方程組：，得到，

則，.

，，

因?yàn)?/span>，所以有，

，

，

化簡(jiǎn)得到，解得：或（舍）.

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，

易知滿足條件的直線為：.

因此，直線恒過定點(diǎn).

所以，

，

因?yàn)?/span>，所以.

設(shè)，.

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得到在為增函數(shù)，

所以.

即：（時(shí)取到最大值）.

所以面積的最大值為.