考察等式:(*),其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下:
設(shè)一批產(chǎn)品共有n件,其中m件是次品,其余為正品.現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,
記事件Ak={取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品},則,k=0,1,2,…,r.
顯然A,A1,…,Ar為互斥事件,且A∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A)+P(A1)+…P(Ar)=,
所以,即等式(*)成立.
對(duì)此,有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的,體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一;但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個(gè)判斷:
①等式(*)成立  ②等式(*)不成立  ③證明正確  ④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號(hào)   
【答案】分析:構(gòu)造概率模型,從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,記事件Ak={取到的產(chǎn)品中恰有k件次品},利用古典概型概率公式求得其概率,根據(jù)A,A1,…,Ar為互斥事件,且A∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),即可判斷.
解答:解:設(shè)一批產(chǎn)品共有n件,其中m件是次品,其余n-m件為正品.
現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,記事件Ak={取到的產(chǎn)品中恰有k件次品},則取到的產(chǎn)品中恰有k件次品共有種情況,又從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,共有種情況,k=0,1,…,r,故其概率為,k=0,1,…,r.
∵A,A1,…,Ar為互斥事件,且A∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A)+P(A1)+…P(Ar)=,
所以CmCn-mr+Cm1Cn-mr-1+…+CmrCn-m=Cnr,即等式(*)成立.
從而可知正確的序號(hào)為:①③
故答案為:①③
點(diǎn)評(píng):本題以概率為依托,證明組合中的等式問題,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造概率模型,利用古典概型的概率公式求概率,題目新穎.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•福建模擬)考察等式:
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
=
C
r
n
(*),其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下:
設(shè)一批產(chǎn)品共有n件,其中m件是次品,其余為正品.現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,
記事件Ak={取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品},則P(Ak)=
C
k
m
C
r-k
n-m
C
r
n
,k=0,1,2,…,r.
顯然A0,A1,…,Ar為互斥事件,且A0∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A0)+P(A1)+…P(Ar)=
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
C
r
n

所以
C
0
m
C
r
n-m
+
C
1
m
C
r-1
n-m
+…+
C
r
m
C
0
n-m
=
C
r
n
,即等式(*)成立.
對(duì)此,有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的,體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一;但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個(gè)判斷:
①等式(*)成立  ②等式(*)不成立  ③證明正確  ④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號(hào)
①③
①③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

考察等式:Cm0Cn-mr+Cm1Cn-mr-1+…+CmrCn-m0=Cnr(*)其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下:設(shè)一批產(chǎn)品共有n件,其中m件是次品,其余為正品.現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,記事件Ak={取到的件產(chǎn)品中恰有件次品},則數(shù)學(xué)公式,k=0,1,…,r.顯然A0,A1,…,Ar為互斥事件,且A0∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),因此1=P(Ω)=P(A0)+P(A1)+…P(Ar)=數(shù)學(xué)公式,所以Cm0Cn-mr+Cm1Cn-mr-1+…+CmrCn-m0=Cnr,即等式(*)成立.對(duì)此,有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的,體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一;但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個(gè)判斷:
①等式(*)成立;②等式(*)不成立③證明正確;④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號(hào)________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建模擬 題型:填空題

考察等式:
C0m
Crn-m
+
C1m
Cr-1n-m
+…+
Crm
C0n-m
=
Crn
(*),其中n、m、r∈N*,r≤m<n且r≤n-m.某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下:
設(shè)一批產(chǎn)品共有n件,其中m件是次品,其余為正品.現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,
記事件Ak={取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品},則P(Ak)=
Ckm
Cr-kn-m
Crn
,k=0,1,2,…,r.
顯然A0,A1,…,Ar為互斥事件,且A0∪A1∪…∪Ar=Ω(必然事件),
因此1=P(Ω)=P(A0)+P(A1)+…P(Ar)=
C0m
Crn-m
+
C1m
Cr-1n-m
+…+
Crm
C0n-m
Crn
,
所以
C0m
Crn-m
+
C1m
Cr-1n-m
+…+
Crm
C0n-m
=
Crn
,即等式(*)成立.
對(duì)此,有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的,體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一;但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個(gè)判斷:
①等式(*)成立  ②等式(*)不成立  ③證明正確  ④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號(hào)______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省模擬題 題型:填空題

考察等式:
     (*)
其中n,m,r∈N*,r≤m<n且r≤n-m,
某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下:設(shè)一批產(chǎn)品共有n件,其中m件是次品,其余為正品,現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品,記事件Ak={取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品},則,k=0,1,…,r。顯然A0,A1,…,Ar為互斥事件,且(必然事件),因此,
所以,,即等式(*)成立。
對(duì)此,有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的,體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一;但有的同學(xué)對(duì)上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑.
現(xiàn)有以下四個(gè)判斷:①等式(*)成立;②等式(*)不成立;③證明正確;④證明不正確,試寫出所有正確判斷的序號(hào)(    )。

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