Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

，記b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）求S_2n+1．

Answer 1

分析：（1）直接把n=2，3代入數(shù)列遞推公式即可求出a₂，a₃；
（2）先把b_n=a_2n，轉(zhuǎn)化為b_n=a_2n=a_（2n-1）+1=

1

2

a_2n-1+（2n-1）=

1

2

[a_2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=

1

2

a_2（n-1）+1=

1

2

b_n-1+1，即求出數(shù)列{b_n}的遞推關(guān)系式，再構(gòu)造新的等比數(shù)列來求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）把數(shù)列{a_n}中的所有項都用數(shù)列{b_n}的通項表示出來，再采用分組求和法求其前2n+1項的和即可．

解答：解：（1）當n=2時，a₂=

1

2

a1+1=

1

2

+1=

3

2

；
當n=3時，a₃=a₂-2×2=

3

2

-4=-

5

2

．
（2）當n≥2時，b_n=a_2n=a_（2n-1）+1=

1

2

a_2n-1+（2n-1）
=

1

2

[a_2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=

1

2

a_2（n-1）+1=

1

2

b_n-1+1
∴b_n-2=

1

2

（b_n-1-2），又b₁-2=a₂-2=-

1

2

，
∴b_n-2=-

1

2

•（

1

2

）^n-1=-（

1

2

）ⁿ，即b_n=2-（

1

2

）ⁿ．
（3）∵a_2n+1=a_2n-4n=b_n-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1
=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）
=1+2（2n-

1 2 [1-(- 1 2 )n]

1- 1 2

）-4×

n(n+1)

2

=（

1

2

）^n-1-2n²+2n-1．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及數(shù)列求和的分組求和法，是對數(shù)列知識的綜合考查，第一問比較容易，后兩問較難．