Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅱ）記b_n=2^a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n．求證S_n＜2ⁿ⁺¹．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n=2^a_n=2ⁿ．利用等比數(shù)列的前n項和公式可得S_n=2ⁿ⁺¹-2．即可證明．

解答： （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．∴

a

2 3

=a₁a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），化為d²-d=0，又d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）證明：b_n=2^a_n=2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．∴S_n＜2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其等比數(shù)列的前n項和公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．