Question

（1）求過直線x+y+4=0與x-y+2=0的交點(diǎn)，且平行于直線 x-2y=0的直線方程．
（2）設(shè)直線4x+3y+1=0和圓x²+y²-2x-3=0相交于點(diǎn)A、B，求弦AB的長(zhǎng)及其垂直平分線的方程．
（3）過點(diǎn)P（3，0）有一條直線l，它夾在兩條直線l₁：2x-y-2=0與l₂：x+y+3=0之間的線段恰被P點(diǎn)平分，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先聯(lián)立直線x+y+4=0與x-y+2=0的方程，求交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)樗�求直線平行于直線 x-2y=0，所以斜率與直線x-2y=0的斜率相等，求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫出方程，化為一般式即可．
（2）把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，再求出圓心到直線4x+3y+1=0的距離，在圓中，半徑，半弦，弦心距構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，就可求出半弦的值，進(jìn)而求出弦AB的長(zhǎng)．
直線l的垂直平分線斜率等于直線l的斜率的負(fù)倒數(shù)，且過圓心，用點(diǎn)斜式求出方程即可．
（3）先設(shè)出M與N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镻為線段MN的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可列出兩點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)關(guān)系式，然后把M的坐標(biāo)代入直線l₁，把B的坐標(biāo)代入直線l₂，又得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)關(guān)系式，把四個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可求出M的坐標(biāo)，然后由M和P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式即可寫出直線l的方程．
解答：解：（1）解方程組，得
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，1），
又∵所求直線平行于直線 x-2y=0，∴斜率為
∴直線方程為y-1=（x+3），即x-2y+5=0
（2）圓x²+y²-2x-3=0可化為（x-1）²+y²=4，∴圓心C的坐標(biāo)為（1，0），半徑為2．
圓心C到直線4x+3y+1=0的距離d==1
∴|AB|==，
∴|AB|=2
∵直線l的斜率為-，∴垂直平分線的斜率為
又∵直線l的垂直平分線過圓心（1，0），∴方程為y=（x-1）
化簡(jiǎn)得，3x-4y-3=0
（3）設(shè)直線l夾在直線l₁，l₂之間的部分是MN，且MN被P（3，0）平分．
設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則有
又∵M(jìn)，N兩點(diǎn)分別在直線l₁，l₂上，∴
由上述四個(gè)式子得 x₁=，y₁=，即M點(diǎn)坐標(biāo)是（， ），
∴直線l的方程為8x-y-24=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩直線交點(diǎn)的求法，直線平行的充要條件的應(yīng)用，圓中弦長(zhǎng)的求法，直線之間關(guān)系的判斷，做題時(shí)要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．