Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的一個(gè)零點(diǎn)為x=1，另外兩個(gè)零點(diǎn)分別在（0，1）和（1，+∞）內(nèi)．
（1）求a+b+c；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，可得
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的一個(gè)零點(diǎn)為x=1，
∴f（1）=1+a+b+c=0，即a+b+c=-1
（2）由（1），得c=-1-a-b代入f（x）解析式，得
f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b）
設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，
∵f（x）的另外兩個(gè)零點(diǎn)分別在（0，1）和（1，+∞）內(nèi)
∴函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)x₁、x₂滿足：0＜x₁＜1 x₂＞1，
因此，可得，
利用用線性規(guī)劃知識(shí)，可得得-2＜＜-．
分析：（1）根據(jù)題意，將x=1代入f（x）解析式，即可得到a+b+c的值為0；
（2）由（1）將c=-1-a-b代入化簡(jiǎn)，可得f（x）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b）．設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，由題意可得g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)滿足0＜x₁＜1 x₂＞1，由此建立關(guān)于a、b的二元一次不等式組，在aob坐標(biāo)系利用線性規(guī)劃知識(shí)，即可求出的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出三次多項(xiàng)式函數(shù)，在已知零點(diǎn)的分布情況下，求f（1）的值并討論的取值范圍，著重考查了多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)分布和簡(jiǎn)單線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．