煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染．已知A、B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數(shù)為k）．若C是AB連線上的點，設(shè)AC=x km，C點的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．
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（Ⅰ）不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依題意，點C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達式為：y=
k
x2
+
k•8
(20-x)2
，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的函數(shù)表達式求導得y′=-
2k
x3
+
16k
(20-x)3
=
2k(9x3-60x2+1200x-8000)
x3(20-x)3
；…（9分）
令y'=0，得（3x-20）•（3x2+400）=0；
又0＜x＜20，∴x=
20
3
．…（12分）
∵當x∈(0 ， 
20
3
)時，y'＜0；當x∈(
20
3
 ， 20)時，y'＞0，
∴當x=
20
3
時，y取最小值．
故存在點C，當AC=
20
3
km時，該點的煙塵濃度最低．…（14分）
練習冊系列答案
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煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染．已知A、B兩座煙囪相距3km，其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數(shù)為k）．若C是連接兩煙囪的線段AB上的點（不包括端點），設(shè)AC=xkm，C點的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

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煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境．已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離成反比，現(xiàn)有兩座煙囪相距10km，其中甲煙囪噴出的煙塵濃度是乙煙囪的2倍，在距甲煙囪1km處的煙塵濃度為2個單位/m3，現(xiàn)要在甲、乙兩煙囪之間建立一所學校，問學校建在何處，煙塵對學校的影響最��？

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（2007•湛江二模）煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染．已知A、B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數(shù)為k）．若C是AB連線上的點，設(shè)AC=x km，C點的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年廣東省湛江市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染．已知A、B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數(shù)為k）．若C是AB連線上的點，設(shè)AC=x km，C點的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

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