Question

設(shè)函數(shù)，.

（1）若曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線，求實數(shù)、的值；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）從條件“曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線”得到以及，從而列有關(guān)、的二元方程組，從而求出與的值；（2）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，確定函數(shù)在區(qū)間上是單峰函數(shù)后，然后對函數(shù)的端點(diǎn)值與峰值進(jìn)行限制，列不等式組解出的取值范圍；（3）將，代入函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)的極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

試題解析：（1）因為，，所以，.

因為曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同切線，

所以，且，

即,且，解得，；

（2）當(dāng)時，，

所以，

令，解得，，

當(dāng)變化時，、的變化情況如下表：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.

故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) ，

即，解得.

所以實數(shù)的取值范圍是.

（3）當(dāng)，時，．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．

由于，，所以．

①當(dāng)，即時， ；

②當(dāng)時，；

③當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，；

綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的零點(diǎn)；3.函數(shù)的最值；4.分類討論