Question

設數列a₁，a₂，…，a_n，…的前n項的和S_n與a_n的關系是S_n=ka_n+1，（其中k是與n無關的常數，且k≠1）．
（1）試寫出用n，k表示的a_n的表達式；
（2）若

lim

n→∞

sn=1，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由前n項的和S_n與a_n的關系 a_n+1=S_n+1-S_n，得到數列的遞推公式，注意分析k是否為零，再求數列的通項公式．
（2）利用極限的值和第（1）的結果，代入s_n整理出關于k的式子，再求k的值．

解答：解：（1）∵S_n=ka_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（ka_n+1+1）-（ka_n+1），
∴a_n+1=ka_n+1-ka_n，即 （k-1）a_n+1=ka_n，
∵k≠1解得an+1=

k

k-1

an(1)
若k≠0，則由題設知a₁≠0，由（1）式易知a_n≠0，n≥1，
∴

an+1

an

=

k

k-1

故該數列是公比為

k

k-1

的等比數列，
其首項為a1=S1=ka1+1，a1=

1

1-k

∴an=

1

1-k

(

k

k-1

)n-1=-

kn-1

(k-1)n

.
當k=0時，由（1）式知a_n=0，上式當n≥1時對k=0也成立．
（2）若

lim

n→∞

Sn=1，即

lim

n→∞

(kan+1)=1，

lim

n→∞

kan=

lim

n→∞

(Sn-1)=0，即

lim

n→∞

k•

-kn-1

(k-1)n

=0，
∴

lim

n→∞

(

k

k-1

)n=0，∴|

k

k-1

|＜1，解得k＜

1

2

.
∴k的范圍：k＜

1

2

點評：本題由前n項和公式和s_n和a_n的關系式，求出遞推公式，然后求數列的通項公式；再由所給的極限值求k的范圍．