Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+2bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）試問函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞x₁，使得函數(shù)f（x）在x=

x1+x2

2

的切線與直線AB平行？若存在，求出A，B的坐標，不存在說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的定義域和導數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，以及直線平行的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-2ax+2b，
又f′（1）=0，∴有2b=2a-1，
∴f′(x)=

1

x

-2ax+2a-1=-(x-1)(2a+

1

x

)，
又a＞0，x＞0，∴f′（x）＞0有0＜x＜1，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．
（2）根據(jù)條件y1=lnx1-a

x

2 1

+(2a-1)x1，y₂=lnx₂-ax22+（2a-1）x₂，
即kAB=

y1-y2

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

-a(x1+x2)+(2a-1)，
而f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a(x1+x2)+(2a-1)=kAB，
則整理可得

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

，
即有ln

x1

x2

=

2( x1 x2 -1)

( x1 x2 +1)

，
令

x1

x2

=t(0＜t＜1)，即lnt+

4

t+1

-2=0，
令g(t)=lnt+

4

t+1

-2(0＜t≤1)，則g′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

≥0，
則函數(shù)g（t）在（0，1]上單增，而g（1）=0，
∴在（0，1）內(nèi)，g（t）＜0，
即lnt+

4

t+1

-2=0在（0，1）內(nèi)無解，
故不存在．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用導數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的運算能力．