Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，面積是面積的兩倍，點(diǎn)在側(cè)棱上.

（1）若，證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為，且為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先證明AD⊥平面BCM，再證明平面平面；（2）先分析得到，以O(shè)為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，所以，

所以．

取BC中點(diǎn)O，連結(jié)DO,AO，所以DO⊥BC，AO⊥BC，

因?yàn)?/span>，所以BC⊥平面AOD，所以BC⊥AD，

又因?yàn)锽M⊥AD，，所以AD⊥平面BCM，

所以平面ACD⊥平面BCM．

（2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角，

所以，

過(guò)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于G，因?yàn)锽C⊥平面AOD，平面AOD，

所以，

因?yàn)?/span>，所以平面．

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè) ，則，

又因?yàn)?/span>，

所以，

在中，，

所以 ， ，

所以，

所以，，

設(shè)是平面DCA的法向量，

則即

取，

因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，

所以 ，

設(shè)直線(xiàn)BM與平面DCA所成角的大小為，則

，

所以直線(xiàn)BM與平面CDA所成角的正弦值為．