Question

已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點（）（n∈N*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2^n-1a_n（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知a_n+1=a_n+1，所以a_n=n
（Ⅱ）由題設(shè)條件知S_n=1×2+2×2¹+3×2²++（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³++（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，再用錯位相減法求解．
解答：解：（Ⅰ）因為點（）（n∈N*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上
所以a_n+1=a_n+1
根據(jù)等差數(shù)列的定義：{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
所以a_n=n
（Ⅱ）由已知b_n=2^n-1a_n=n2^n-1
S_n=b₁+b₂+b₃++b_n-1+b_n
=1×2+2×2¹+3×2²++（n-1）×2^n-2+n×2^n-1①
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³++（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②
①-②得-S_n=2+2¹+2²++2^n-2+2^n-1-n×2ⁿ
=2ⁿ-1-n×2ⁿ（11分）S_n=（n-1）×2ⁿ+1
點評：本題考查數(shù)列的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用．