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已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0有＞0恒成立．

(Ⅰ)判斷f(x)在[－1，1]上是增函數還是減函數，并證明你的結論；

(Ⅱ)解不等式f(x＋)＜f()；

(Ⅲ)若f(x)≤－2am＋1，對所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設＜且，∈[－1，1]，則－∈[－1，1]　　∵f(x)是奇函數

　　∴f()－f()＝f()＋f(－)＝(－)

　　由題設知＞0且－＜0

　　(－)＜0即f()－f()＜0　　∴f()＜f()

　　∴f(x)在[－1，1]上是增函數

　　(Ⅱ)∵f(x)在[－1，1]上是增函數，不等式等價于

　　

　　∴≤x＜－1

　　(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(x)在[－1，1]上是增函數，且f(1)＝1

　　∴|f(x)|≤f(1)＝1

　　要f(x)≤－2am＋1，對所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立必

　　＝1≤－2am＋1成立　　∴必－2am≥0令

　　g(a)＝－2am＋，對a∈[－1，1]，恒成立只要g(a)最大值大于或等于0．

　　(Ⅰ)當m＜0時，g(a)是增函數，必g(－1)＝2m＋≥0

　　∴m≤－2或m≥0，由m＜0　　∴m≤－2

　　(Ⅱ)當m＝0時，g(a)＝0恒成立

　　(Ⅲ)當m＞0時，g(a)在[－1，1]上是減函數，必g(1)＝－2m＋≥0

　　m≤0或m≥2，∵m＞0，∴m≥2

　　綜上知，m≤－2或m＝0或m≥2


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列結論中正確的是
①②③
①②③
．
①函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+1）=-f（x），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
②已知ξ～N（16，σ2），若P（ξ＞17）=0.35，則P（15＜ξ＜16）=0.15；
③
已知f(x)是定義在(-∞，+∞)上的偶函數，且在(-∞，0]上是增函數．設a=f(ln
1
3
)，b=f(log43)，
c=f(0.4-1.2)，則c＜a＜b；

④線性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個變量線性相關程度越弱．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)是定義在實數集R上的函數,它的反函數為f-1(x),若y=f-1(x+1)與y=f(x+1)互為反函數,且f(1)=1,則f(2)的值為

A.2                  B.1                   C.0                   D.-1

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a,b∈R,滿足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N*),b=(n∈N*);考查下列結論：

①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數；③數列{a}為等比數列；④{b}為等差數列.

其中正確的是               .

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科目：高中數學 來源：2015屆廣東省高一第一次階段考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知f(x)是定義在( 0，＋∞)上的增函數，

且f() = f(x)－f(y)  

（1）求f(1)的值;

（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2

 

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科目：高中數學 來源：2010年黑龍江省高一上學期期末考試數學試卷 題型：填空題

已知f (x)是定義在∪上的奇函數，當時，f (x)的圖象如圖所示，那么f (x)的值域是                   

 

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