Question

9．已知函數(shù)$f（x）=lg（{x+\sqrt{{x^2}+1}}）+x$，如果f（1+a）+f（1-a²）＜0，則a的取值范圍是{a|a＜-1或a＞2}．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）在R上單調(diào)遞增．故由條件可得f（1+a）＜f（a²-1），故1+a＜a²-1，由此求得a的范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=lg（{x+\sqrt{{x^2}+1}}）+x$，f（-x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）-x=-lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）-x=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）在R上單調(diào)遞增．
如果f（1+a）+f（1-a²）＜0，則f（1+a）＜f（a²-1），∴1+a＜a²-1，
求得a＜-1或a＞2，
故答案為：{a|a＜-1或a＞2}．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質，屬于基礎題．