Question

設(shè)S_n=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，寫出S₁，S₂，S₃，S₄的歸納并猜想出結(jié)果，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知分別求出S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，S₄=

4

5

，歸納猜想：S_n=

n

n+1

，再利用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行證明．

解答： 解：當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，
計(jì)算得原式的值分別為：S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，S₄=

4

5

．
觀察這4個(gè)結(jié)果都是分?jǐn)?shù)，
每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與項(xiàng)數(shù)對(duì)應(yīng)，且分子比分母恰好小1．
歸納猜想：S_n=

n

n+1

．
證明∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，…，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法及證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．