Question

（1）設(shè)雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為

1

2

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，在橢圓方程中取y=4求出橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，代入雙曲線方程后聯(lián)立求解即可得到答案；
（2）由拋物線方程求出橢圓右焦點(diǎn)，得到c，由離心率求得a，結(jié)合隱含條件求出b，則答案可求．

解答：解：（1）橢圓

x2

27

+

y2

36

=1的焦點(diǎn)為（0，3），（0，-3）
所以雙曲線的c²=9．
在橢圓上，令y=4，解得，x=±

15

．
所以雙曲線過點(diǎn)（±

15

，4）
設(shè)雙曲線方程

y2

a2

-

x2

b2

=1
將點(diǎn)（

15

，4）代入，得

16

a2

-

15

b2

=1①
又a²+b²=c²=9②
由①②可以解得a²=4，b²=5．
雙曲線方程

y2

4

-

x2

5

=1；
（2）由拋物線y²=8x，得p=4
拋物線右焦點(diǎn)是（2，0），即橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），則c=2
又e=

c

a

=

1

2

，故a=4
即m²=a²=16，n²=b²=a²-c²=16-4=12
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線的幾何性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題．