Question

已知圓心為C的圓方程是x²+y²-2y+m=0．
（1）如果圓C與直線y=0沒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）如果圓C過坐標原點，直線l過點P（0，a）（0≤a≤2），且與圓C交于A，B兩點，當△ABC的面積最大時，求直線l的斜率k關于a的解析式k（a），并求k（a）的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)條件可得方程x² +m=0無解，從而求得m的范圍．
（2）當a=1時，△ABC不存在．設直線l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，則S=

1

2

sin∠ACB，故當sin∠ACB 最大值時，S最大．當sin∠ACB 取最大值為1時，點C到直線l的距離為

2

2

，求得k關于a的解析式，以及a的范圍．再根據(jù)k關于a的解析式以及a的范圍，分類討論求得k的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)圓C方程是x²+y²-2y+m=0，由圓C與直線y=0沒有公共點，可得方程x² +m=0無解，故m＞0．
（2）由題意可得C（0，1），由圓C：x²+y²-2y+m=0過原點，可得m=0，圓C方程是x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）² =1．
當a=1時，△ABC不存在，故0＜a＜1，或1＜a≤2．
設直線l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，則S=

1

2

CA•CB•sin∠ACB=

1

2

sin∠ACB，故當sin∠ACB 最大值時，S最大．
當sin∠ACB 取最大值為1時，點C到直線l的距離為

2

2

，即

|a-1|

k2+1

=

2

2

，化簡可得k²=2（a-1）²-1≥0，
求得a≤1-

2

2

，或a≥1+

2

2

．
①當a∈（0，1-

2

2

]∪[1+

2

2

，2]時，sin∠ACB 取最大值為1，當a=2，或a=0時，k取得最大值為1．
②當a∈（1-

2

2

，1）∪（1，1+

2

2

）時，∠ACB∈（

π

2

，π），故當∠ACB最小時，sin∠ACB最大．
作CD⊥AB，則C為AB的中點，sin∠ACD=

CD

CA

=CD，故要使S最大，需CD最大，而CD≤CP，當CD=CP時，AB垂直于y軸，此時k=0．
 綜上可得，k的最大值為1．

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應用，直角三角形中的邊角關系，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．