已知:正三棱柱A1B1C1—ABC中,AA1=AB=a,D為CC1的中點(diǎn),F是A1B的中點(diǎn),A1D與AC的延長線交于點(diǎn)M,
(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求證:AF⊥BD;
(3)求平面A1BD與平面ABC所成的較小二面角的大。
(1)證明:取AB中點(diǎn)E,連EF、CE, ∵F為AB中點(diǎn), ∴EF∥AA1∥CC1,且EF=AA1=CC1. ∵D為CC1中點(diǎn),∴CD=CC1. 又AA1∥CC1,∴EF∥CD且EF=CD, ∴四邊形EFDC為平行四邊形, ∴DF∥CE. ∵DF面ABC,∴DF∥面ABC. (2)證明:∵A1A=AB,F為A1B中點(diǎn), ∴AF⊥A1B. ∵AA1⊥面ABC,∴AA1⊥CE. 又DF∥CE,∴DF⊥AA1. ∵A1ACC1,B1BCC1為正方形,D為CC1中點(diǎn), ∴A1D=BD,∴DF⊥A1B. ∴DF⊥面AA1B,∴DF⊥AF. ∴AF⊥面A1BD,∴AF⊥BD. (3)解:∵CD∥AA1, ∴CD=AA1,D為A1M中點(diǎn), 又F為A1B中點(diǎn), ∴DF∥BM.由(Ⅱ)知DF⊥面AA1B, ∴BM⊥面AA1B,∴BM⊥A1B,BM⊥AB. ∴∠A1BA為平面A1BM與面ABC所成二面角的平面角. 即∠A1BA為平面A1BD與平面ABC所成的二面角的平面角. ∵A1ABB1為正方形, ∴∠A1BA=45°即為所求二面角大小. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
A1P |
A1B |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
已知:正三棱柱A1B1C1—ABC中,AA1=AB=a,D為CC1的中點(diǎn),F是A1B的中點(diǎn),A1D與AC的延長線交于點(diǎn)M,
(Ⅰ)求證:DF∥平面ABC;
(Ⅱ)求證:AF⊥BD;
(Ⅲ)求平面A1BD與平面ABC所成的較小二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044
(Ⅰ)求證:DF∥平面ABC;
(Ⅱ)求證:AF⊥BD;
(Ⅲ)求平面A1BD與平面ABC所成的較小二面角的大小.
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