Question

求證：1²+2²+3²+…+（n-1）²+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準(zhǔn)，驗(yàn)證n=1時(shí)成立，假設(shè)n=k是成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1²=1，右邊=

1×2×3

6

=1，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即：1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

-----------（6分）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)

6

+（K+1）²
=

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2

6

=

k(k+1)(2k+1)[2(k+1)+1]

6

，
就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．----------------------（13分）
綜上所述，對(duì)任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)．