已知等差數(shù)列{an}的公差是d,Sn是該數(shù)列的前n項和、
(1)試用d,Sm,Sn表示Sm+n,其中m,n均為正整數(shù);
(2)利用(1)的結論求解:“已知Sm=Sn(m≠n),求Sm+n”;
(3)若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q,前n項和為Sn,試類比問題(1)的結論,寫出一個相應的結論且給出證明,并利用此結論求解問題:“已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn},其中S10=5,S20=15,求數(shù)列{bn}的前50項和S50.”
分析:(1)利用等差數(shù)列的前n項和公式分別表示出sn、sm、sm+n,找出其聯(lián)系即可.
(2)由Sm=Sn可得mnd=-2sn,結合(1)的結論即可求解;
(3)利用類比法寫出相應的結論,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式進行證明,然后將結論特殊化即可.
解答:解:(1)設等差數(shù)列{an}的首項是a1
∴Sn=na1+
n(n-1)
2
d,Sm=ma1+
m(m-1)
2
d,
∴Sm+n=(m+n)a1+
(m+n)(m+n-1)
2
d
=(m+n)a1+
m2+n2+2nm-m-n
2
d
=ma1+
m(m-1)
2
d+na1+
n(n-1)
2
d+mnd
=Sm+Sn+mnd;
(2)由條件,可得Sm=ma1+
m(m-1)
2
d①,Sn=na1+
n(n-1)
2
d②,
②×n-①×m得:
(m-n)sn=
1
2
nm(m-1)d-
1
2
mn(n-1)d,
整理得mnd=-2sn,,
則Sm+n=Sm+Sn+mnd=2sn-2sn=0.
(3)類比得到等比數(shù)列的結論是:若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q,前n項和為Sn,則對任意正整數(shù)m、n,都有sm+n=sm+qmsn
證明如下:不妨設m≤n,則sm+n=(b1+b2+…+bm)+(bm+1+bm+2+…+bn+m
=sm+(b1qm+b2qm+…+bnqm
=sm+qm(b1+b2+…+bn
=sm+qmsn
∴sm+n=sm+qmsn
問題解答如下:由s20=s10+10=s10+q10s10,得q10=
s20-s10
s10
=
15-5
5
=2,
則s30=s10+20=s10+q10s20=5+2×15=35,
∴s50=s20+30=s20+q20s30=15+22×35=155.
點評:本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式及歸納類比的有關知識,考查運算能力和邏輯推理能力,綜合性較強.
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