Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6．
（1）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）在（1）的條件下，求g（a）=2-a•|a+3|的值域．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，則△=16a²-4（2a+6）＜0，解得答案；
（2）在（1）的條件下，求g（a）=-a²-3a+2，a∈（-1，$\frac{3}{2}$），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，
則△=16a²-4（2a+6）＜0，
解得：a∈（-1，$\frac{3}{2}$）；
（2）在（1）的條件下，求g（a）=2-a•|a+3|=-a²-3a+2，a∈（-1，$\frac{3}{2}$）；
∵g（a）=-a²-3a+2的圖象是開口朝下，且以直線x=-$\frac{3}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)a∈（-1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)取最大值4，當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值-$\frac{19}{4}$，
故g（a）=2-a•|a+3|的值域?yàn)椋?$\frac{19}{4}$，4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的值域，難度中檔．