Question

已知函數(shù) (＞0)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

(1)用表示；

(2)若在上恒成立，求的取值范圍；

(3)證明：1+++…+＞+.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）   （II）     (Ⅲ)見解析

【解析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得就可得到用表示的式子；（2）若在上恒成立，即在上恒成立。構(gòu)造函數(shù)，利用，再討論的取值范圍研究的單調(diào)性使的最小值大于等于0可得的取值范圍；

（3）由（2）知當(dāng)時(shí),有,  () 若,有。結(jié)合要證的結(jié)論，令，。分別把的值代入，得到個(gè)不等式依次相加得整理即得結(jié)論。本題是與自然數(shù)有關(guān)的問題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明

（Ⅰ） ，則有，解得…3分

（II）由（Ⅰ）知，

令，

則，……4分

(ⅰ)當(dāng)時(shí),,

若,則,單調(diào)遞減，所以即,

故在上不恒成立. …………6分

(ⅱ) 當(dāng)時(shí),,

若,則,是增函數(shù),所以

即,故當(dāng)時(shí),. …………8分

綜上所述,所求的取值范圍為…………9分

(Ⅲ)解法一:

由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí),有,  ()

令,有且當(dāng)時(shí), ……10分

令,有

即, …………12分

將上述個(gè)不等式依次相加得

整理得…………14分

解法二: 用數(shù)學(xué)歸納法證明

(1) 當(dāng)時(shí),左邊,右邊, 不等式成立. …………10分

(2) 假設(shè)時(shí), 不等式成立, 就是

那么

由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí),有,  ()

令,有,  ()

令,有

所以

即

這就是說，當(dāng)時(shí), 不等式也成立�！�………13分

根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對任何都成立。