Question

假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料可知y對(duì)x呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系
（1）畫(huà)出x與y的散點(diǎn)圖；
（2）試求x與y線(xiàn)性回歸方程；
（3）估計(jì)使用年限為6年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？此時(shí)相應(yīng)的殘差是多少？
（參考公式：b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

.

y

=b

.

x

+a）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格中所給的五組數(shù)據(jù)，得到五組實(shí)數(shù)對(duì)，在坐標(biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖．
（2）先做出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)，把樣本中心點(diǎn)代入求出a的值，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問(wèn)做出的線(xiàn)性回歸方程，代入所給的x的值，預(yù)報(bào)出對(duì)應(yīng)的y的值，做出相應(yīng)的殘差．

解答：解：（1）根據(jù)所給的五組數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖

（2）由題設(shè)條件得：

.

x

=4

.

y

=5

5

i=1

x

2 i

=90

5

i=1

x

i

yi=112.3
∴b=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=1.23
∴a=

.

y

-b

.

x

=5-1.23×4=0.08
 線(xiàn)性回歸方程為：

?

y

=bx+a=1.23x+0.08
（3）由（2）得：x=6時(shí)，

?

y

=1.23×6+0.08=7.46（萬(wàn)元）
此時(shí)相應(yīng)于點(diǎn)（6，7.0）的殘差為：

?

e

=y-

?

y

=7.0-7.46=-0.46
答：估計(jì)使用年6年時(shí)維修費(fèi)用是7.46萬(wàn)元，此時(shí)相應(yīng)的殘差是-0.46

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是求出線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)，這是后面求a和預(yù)報(bào)y值的前提．