Question

已知x=

2

是函數(shù)f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x＜0

的極值點．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)b∈R時，函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)的符號，導(dǎo)數(shù)大于0的區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間，小于0的區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ） 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域，要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線
y=m有兩個不同的交點，分b＞0、b=0、b＜0 三種情況求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解（Ⅰ）x＞0時，f（x）=（x²-2ax ） e^x，
∴f′（x）=（x²-2ax ） e^x+（2x-2a）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′（

2

）=0，解得a=1．∴f（x）=（x²-2x），f′（x）=（x²-2）e^x．
當(dāng) x∈（0，

2

）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

2

，+∞）時，f′（x）＞0．   又f（0）=0，
當(dāng) b=1時，f（x）在（-∞，0），（

2

，+∞） 上單調(diào)遞增，在（0，

2

）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（1）知，當(dāng)x∈（0，

2

）時，f（x）單調(diào)遞減，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
當(dāng)x∈（

2

，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．
要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當(dāng)b＞0時，m=0或 m=（2-2

2

）e

2

．
②當(dāng)b=0時，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
③當(dāng)b＜0時，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)在某點存在極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．