（1）證明下列命題：
已知函數(shù)f（x）=kx+p及實數(shù)m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，則對于一切實數(shù)x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的結論解決下列各問題：
①若對于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-1．
分析：（1）先證明f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性再去證明f（x）＞0．
（2）構造函數(shù)f（x）=2x+20-k2x-16k=（2-k2）x+（20-16k），利用（1）的結果得出f（-6）＞0，f（4）＞0，解出實數(shù)k的取值范圍．
構造函數(shù)  h（a）=ab+bc+ca+1，a∈（-1，1）且h（-1）=（b-1）（c-1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得結論．
解答：解：（1）設x1，x2∈（m，n） 且x1＜x2，
當k＞0時，f（x2 ）-f（x1）=k（x2-x1）＞0，f（x）為增函數(shù)．f（x）＞f（m）＞0．
 當k＜0時，f（x2 ）-f（x1）=k（x2-x1）＜0，f（x）為減函數(shù)．f（x）＞f（n）＞0．
 當k=0時，f（x）為常函數(shù)．f（x）=f（m）＞0．
綜上對于一切實數(shù)x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）①將不等式2x+20＞k2x+16k，移向（2-k2）x+（20-16k）＞0，
構造函數(shù)f（x）=2x+20-k2x-16k=（2-k2）x+（20-16k）
只要同時滿足f（-6）＞0，f（4）＞0即可．解得：-2-
11
＜x＜
2
3

②將證明不等式的問題“轉化”為關于a（或b、c）的一次函數(shù)，這就需要“造”一個一次函數(shù)如下：
令h（a）=ab+bc+ca+1；
即h（a）=a（b+c）+bc+1，a∈（-1，1）
由h（-1）=（b-1）（c-1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得結論．
∴h（a）=ab+bc+ca+1＞0，即ab+bc+ca＞-1．
點評：本題考查函數(shù)與不等式，函數(shù)單調(diào)性的證明與應用，構造法解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為有理數(shù)的點稱為有理點．試根據(jù)這一定義，證明下列命題：若直線y=kx+b（k≠0）經(jīng)過點M（
2
，1），則此直線不能經(jīng)過兩個有理點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閘北區(qū)一模）假設你已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)和反函數(shù)的概念，但還沒有學習過對數(shù)的相關概念．由指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數(shù)集R上是單調(diào)函數(shù)，可知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數(shù)y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據(jù)上述假設和已知，在不涉及對數(shù)的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數(shù)x1，x2，都有f-1（x1x2）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函數(shù)y=f-1（x）是單調(diào)函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

假設你已經(jīng)學習過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)和反函數(shù)的概念，但還沒有學習過對數(shù)的相關概念．由指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數(shù)集R上是單調(diào)函數(shù)，可知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數(shù)y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據(jù)上述假設和已知，在不涉及對數(shù)的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數(shù)x1，x2，都有f-1（x1x2）=數(shù)學公式；
（2）函數(shù)y=f-1（x）是單調(diào)函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明下列命題.

（1）若函數(shù)f(x)可導且為周期函數(shù)，則f′(x)也為周期函數(shù)；

（2）可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案