Question

圓C的方程為（x-2）²+y²=4，圓M的方程為（x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1（θ∈R），過(guò)圓C上任意一點(diǎn)P作圓M的兩條切線PE、PF，切點(diǎn)分別為E、F，則的最小值是（ ）
A．6
B．
C．7
D．

Answer 1

【答案】分析：由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，如圖所示，則的最小值是，
利用 兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出的值，即為所求．
解答：解：（x-2）²+y²=4的圓心C（2，0），半徑等于2，圓M  （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圓心M（2+5sinθ，5cosθ），半徑等于1．∵|CM|==5＞2+1，故兩圓相離．
∵=•cos∠EPF，要使   最小，需 最小，且∠EPF 最大，
如圖所示，設(shè)直線CM 和圓C 交于H、G兩點(diǎn)，則的最小值是．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|===2，sin∠MHE==，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=，
∴=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2×2×=，故選 B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓的切線，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合
的數(shù)學(xué)思想，判斷的最小值是，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．