Question

若直線mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始終平分圓x²+y²-4x-2y-4=0的周長，則mn的取值范圍是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：由題意可得圓心在直線設(shè)，即可得出m，n的關(guān)系式，經(jīng)過分類討論和利用基本不等式即可得出mn的取值范圍．

解答：解：圓的方程x²+y²-4x-2y-4=0化為（x-2）²+（y-1）²=9，可得圓心C（2，1）．
∵直線mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始終平分圓x²+y²-4x-2y-4=0的周長，
∴圓心C在直線上，∴2m+2n-4=0，化為m+n=2．
當m＞0，n＞0，m≠n時，2=m+n＞2

mn

，化為mn＜1．
當mn=0時，mn=0．
當m＜0或n＜0（不同時成立）時，mn＜0．
綜上可知mn的取值范圍是（-∞，1）．
故答案為（-∞，1）．

點評：本題考查了圓的性質(zhì)、基本不等式、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．