Question

三條直線(xiàn)兩兩垂直，現(xiàn)有一條直線(xiàn)與其中兩條都成60°，則此直線(xiàn)與另外一條直線(xiàn)所成角為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：如圖所示，OA，OB，OC三條直線(xiàn)兩兩垂直，OP與兩條直線(xiàn)OB，OC都成60°．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面OBC，垂足為點(diǎn)D．可得點(diǎn)D在∠BOC的平分線(xiàn)OM上，連接BD，CD．不妨取OA=OB=OC=2，分別在Rt△OPD中，在△OBD與△OBP中，利用勾股定理和余弦定理，可得

OD

OP

=

2

2

．于是∠POD=45°．即可得出∠AOP．

解答： 解：如圖所示，
OA，OB，OC三條直線(xiàn)兩兩垂直，OP與兩條直線(xiàn)OB，OC都成60°．
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面OBC，垂足為點(diǎn)D．則點(diǎn)D在∠BOC的平分線(xiàn)OM上，
連接BD，CD．
不妨取OA=OB=OC=2，
在Rt△OPD中，由勾股定理可得PD²=OP²-OD²．
在△OBD與△OBP中，由余弦定理可得：
BD²=OB²+OD²-2OB•OD•cos45°=22+OD2-4OD×

2

2

=4+OD2-2

2

OD，
PB²=OB²+OP²-2OB•OP•cos60°=4+OP²-2OP．
在Rt△BDP中，由勾股定理可得：PB²=BD²+PD²．
∴4+OP²-2OP=4+OD2-2

2

OD+OP²-OD²，
化為

OD

OP

=

2

2

．
∴∠POD=45°．
∴∠AOP=45°．
即直線(xiàn)OP與另外一條直線(xiàn)OA所成角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了異面直線(xiàn)所成的角、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、余弦定理和勾股定理，考查了輔助線(xiàn)的作法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．