Question

給出下列四個命題：
①命題?x²＞1，x＞1的否定是?x²≤1，x≤1；
②函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞0且a≠1)在R上單調(diào)遞減；
③設(shè)f（x）是R上的任意函數(shù)，則f（x）+f（-x）是偶函數(shù)；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對于任意x的都有f(x-2)=-

4

f(x)

，則f（x）為周期函數(shù)；
⑤已知冪函數(shù)f（x）=x^α的圖象經(jīng)過點(2，

2

2

)，則f（4）的值等于

1

2

其中真命題的序號是

 

（把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①寫出命題?x²＞1，x＞1的否定，可判斷①；
②由于函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論，可知該函數(shù)的單調(diào)情況，從而可判斷②；
③設(shè)令h（x）=f（x）+f（-x），利用奇偶函數(shù)的概念可判斷③；
④由f(x-2)=-

4

f(x)

⇒f[（x-2）-2]=-

4

f(x-2)

=f（x），可判斷④；
⑤已知冪函數(shù)f（x）=x^α的圖象經(jīng)過點(2，

2

2

)，可求得f（x）=2-

1

2

，從而可求f（4）的值，可判斷⑤．

解答： -x解：對于①，命題?x²＞1，x＞1的否定是?x²＞1，x≤1，故①錯誤；
對于②，函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，
當(dāng)0＜a＜1時，y=a^x+1是減函數(shù)，y=

2

ax+1

為增函數(shù)，故f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

為減函數(shù)；
當(dāng)a＞1時，y=a^x+1是增函數(shù)，同理可得f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

為增函數(shù)，故②錯誤；
對于③，設(shè)f（x）是R上的任意函數(shù)，令h（x）=f（x）+f（-x），
則h（-x）=f（-x）+f（x）=h（x），
所以f（x）+f（-x）是偶函數(shù)，故③正確；
對于④，定義在R上的函數(shù)f（x）對于任意x的都有f(x-2)=-

4

f(x)

，則f[（x-2）-2]=-

4

f(x-2)

=f（x），
所以f（x）是以4為周期函數(shù)，故④正確；
對于⑤，已知冪函數(shù)f（x）=x^α的圖象經(jīng)過點(2，

2

2

)，則

2

2

=2^α，解得α=-

1

2

，
所以f（4）=4-

1

2

=

1

2

，故⑤正確；
綜上所述，③④⑤正確；
故答案為：③④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查命題的否定及冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．