Question

已知x、y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為7，則

3

a

+

4

b

的最小值為

7

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，利用直線平移法求出當(dāng)x=3且y=4時，z=ax+by取得最大值為7，即3a+4b=7．再利用整體代換法，根據(jù)基本不等式加以計算，可得當(dāng)a=b=1時

3

a

+

4

b

的最小值為7．

解答：解：作出不等式組

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）
設(shè)z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），
將直線l：z=ax+by進行平移，并觀察直線l在x軸上的截距變化，
可得當(dāng)l經(jīng)過點B時，目標(biāo)函數(shù)z達到最大值．
∴z_max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．
因此，

3

a

+

4

b

=

1

7

（3a+4b）（

3

a

+

4

b

）=

1

7

[25+12（

b

a

+

a

b

）]，
∵a＞0，b＞0，可得

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，
∴

3

a

+

4

b

≥

1

7

（25+12×2）=7，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，

3

a

+

4

b

的最小值為7．
故答案為：7

點評：本題給出二元一次不等式組，在目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值為7的情況下求

3

a

+

4

b

的最小值．著重考查了簡單的性質(zhì)規(guī)劃、利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．