Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2．
（Ⅰ）若D為AA₁中點，求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁-DC-C₁的大小為60°，求AD的長．

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）D為AA₁中點，證明B₁C₁⊥CD，CD⊥DC₁，推出CD⊥平面B₁C₁D，即可證明平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在面ACC₁A₁內(nèi)過C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB₁，
說明∠B₁EC₁為二面角B₁-DC-C₁的平面角為60°，通過面積求AD的長．
法二：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸和建立空間直角坐標系．通過計算

CD

•

DC1

=0 和

CD

•

C1B

=0，證明CD⊥平面B₁C₁D，可得平面B₁CD⊥平面B₁C₁D
（Ⅱ）設(shè)AD=a，則D點坐標為（1，0，a），求出平面B₁CD的法向量，平面C1DC的法向量為

n

=(0，1，0)，
利用cos60°=

m • n

| m || n |

求出a的值，即可．

解答：解法一：（Ⅰ）∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，∴B₁C₁⊥A₁C₁，
又由直三棱柱性質(zhì)知B₁C₁⊥CC₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD①（3分）
由D為中點可知，DC=DC₁=

2

，
∴DC²+DC₁²=CC₁²即CD⊥DC₁②（5分）
由①②可知CD⊥平面B₁C₁D又CD?平面B₁CD，故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D．（6分）
（Ⅱ）由（1）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，如圖，在面ACC₁A₁內(nèi)過C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB₁，
由三垂線定理可知∠B₁EC₁為二面角B₁-DC-C₁的平面角，（8分）
∴∠B₁EC₁=60°．
由B₁C₁=2知，C1E=

2 3

3

，（10分）
設(shè)AD=x，則DC=

x2+1

．∵△DC₁C₁的面積為1，∴

1

2

.

x2+1

.

2 3

3

=1，
解得x=

2

即AD=

2

．（12分）
解法二：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸和建立空間直角坐標系．
則C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），D（1，0，1）
即

C1B

=(0，2，0)，

DC1

=(-1，0，1)，

CD

=(1，0，1)
由

CD

•

C1B

=(1，0，1)•(0，2，0)=0+0+0=0，
得CD⊥C₁B；
由

CD

•

DC1

=(1，0，1)•(-1，0，1)=-1+0+1=0
得CD⊥DC₁；又DC₁∩C₁B=C₁，
∴CD⊥平面B₁C₁D．又CD?平面B₁CD，
∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）
（Ⅱ）設(shè)AD=a，則D點坐標為（1，0，a），

CD

=(1，0，a)，

CB1

=(0，2，2)，
設(shè)平面B₁CD的法向量為

.

m

=(x，y，z)．
則由

m • CB1 =0 m • CD =0

?

x+az=0 2y+2z=0

令z=1．
得

m

=(a，1，-1)，又平面C1DC的法向量為

n

=(0，1，0)，
則由cos60°=

m • n

| m || n |

?

1

a2+2

=

1

2

，即a=

2

，
故AD=

2

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．