Question

已知函數(shù)在處取得極值.

(1)求實數(shù)的值；

(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍；

(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)   (3)先證

【解析】

試題分析：(1)                      

時,取得極值,                  

故解得經(jīng)檢驗符合題意.    

（2）由知 由,得 

令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根.     

當(dāng)時,,于是在上單調(diào)遞增; 

當(dāng)時,,于是在上單調(diào)遞減.   

依題意有,

解得,                  

(3) 的定義域為,由(1)知,

令得,或(舍去),  當(dāng)時, ,單調(diào)遞增;

當(dāng)時, ,單調(diào)遞減. 為在上的最大值.                      

,故(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立)

對任意正整數(shù),取得,    

故.     

（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.

假設(shè)時，成立，

則時，有.做差比較：

構(gòu)建函數(shù)，則，

單調(diào)遞減，.

取，

即，亦即，

故時，有，不等式成立.，綜上可知，對任意的正整數(shù),不等式都成立. 

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值函數(shù)與方程的綜合運用不等式的證明．

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，注意函數(shù)與方程的綜合運用，以及會進行不

等式的證明．