Question

14．若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，求函數(shù)y=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$+2tanx+1的最值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 運(yùn)用同角的三角函數(shù)的關(guān)系，化函數(shù)y=tan²x+2tanx+2，令t=tanx，由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，可得t∈[-$\sqrt{3}$，1]，再由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最值及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$+2tanx+1=$\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x}$+2tanx+1
=tan²x+2tanx+2，
令t=tanx，由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，可得t∈[-$\sqrt{3}$，1]，
函數(shù)y=t²+2t+2=（t+1）²+1，
當(dāng)t=-1，即x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)取得最小值1；
當(dāng)t=1，即x=$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)取得最大值5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和正切函數(shù)的單調(diào)性，討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．