Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x-1 且f（0）=-3．
（1）求f（x）的解析式；              
（2）指出函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程|f（x）|-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，利用f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=-3，求出a，b，c，即可求f（x）的解析式．
（2）畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，由圖象求出單調(diào)區(qū)間，
（3）分別畫出y=|x²-2x-3|與y=x+a的圖象，分別求出直線和曲線相切時a的值，由圖象可得a的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=-3，得c=-3，
∵f（x+1）-f（x）=2x-1，
∴a（x+1）²+b（x+1）-3-（ax²+bx-3）=2ax+a+b=2x-1，
∴a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x-3；
（2）y=|f（x）|=

x2-2x-3，x＜-1或x＞3 -x2+2x+3，-1≤x≤3

，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知，遞增區(qū)間[-1，1]，[3，+∞）；遞減區(qū)間（-∞，-1），（1，3），
（3）原方程變形為|x²-2x-3|=x+a，在同一坐標系下再作出y=|x²-2x-3|與y=x+a的圖象（如圖所示），則當直線y=x+a過點（-1，0）時，a=1；
當直線y=x+a與拋物線y=-x²+4x+3相切時，
由

y=x+a y=-x2+2x+3

得x²-x+a-3=0，由△=1-4（a-3）=0．得a=

13

4

．
由圖象知當a∈[1，

13

4

]時，方程至少有三個不等實根．

點評：本題主要考查解析式的求法，絕對值函數(shù)的圖象和畫法，和直線和曲線的交點問題，屬于中檔題．